Вычисление площади плоской фигуры через определенный интеграл заданной явной функцией, параметрически и в полярных координатах

Пусть $f(x) \geq 0$ и $\Omega = \{ (x, y) \mid x \in [a, b] \land 0 \leq y \leq f(x)\}$ - криволинейная трапеция Тогда если $f(x)$ - интегрируема, то $\Omega$ - измеримо и: $$\mu(\Omega) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$

Так как $f(x)$ - интегрируема: $\overline{S}_{\tau} - \underline{S}_{\tau} < \varepsilon$ Пусть $\sigma ^{*}$ и $\sigma_{*}$ - элементарные множества, соответствующие $\overline{S}$ и $\underline{S}$, тогда: $$\mu(\sigma ^{*}) - \mu(\sigma_{*}) < \varepsilon$$ Значит и $\mu(\Omega)$, и $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx$ "зажаты" между $\overline{S}$ и $\underline{S}$: $$\begin{cases} \underline{S}_{\tau} \leq \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \overline{S}_{\tau} \\ \underline{S}_{\tau} \leq \mu(\Omega) \leq \overline{S}_{\tau} \end{cases}$$ И тогда при ${} \lambda(\tau) \to 0 {}$: $$\mu(\Omega) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$ $\square$

Если $f(x) \leq g(x)$ и $\Omega = \{ (x,y) \mid x \in [a, b] \land f(x) \leq y \leq g(x)\}$, то: $$\mu(\Omega) = \int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \, dx $$

Пусть: - $m = \min\limits_{x \in [a, b]} \{\inf g(x), \inf f(x) \}$ - $f_{1}(x) = f(x) - m \geq 0$ - $g_{1}(x) = g(x) - m \geq 0$ Тогда разнице площадей под $f_{1}$ и $g_{1}$ в геометрическом смысле будет соответствовать: $$\int_{a}^{b} g_{1}(x) \, dx - \int_{a}^{b} f_{1}(x) \, dx = \int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \, dx$$ $\square$

Если $\Omega$ ограничена кривой $\gamma\mathpunct{:}~ \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}, t \in [a, b]$, то: $$\mu(\Omega) = \left|\int_{a}^{b} y(t)x'(t) \, dt \right|$$

Знаем, что: $$\mu(\Omega) = \int_{a'}^{b'} f(x) \, dx $$ Подставим $x = x(t)$ и $y = y(t)$ и возьмём модуль, чтобы не учитывать направление обхода фигуры: $$\mu(\Omega) = \left| \int_{a}^{b} f(x(t)) x'(t) \, dt \right| = \left| \int_{a}^{b} y(t)x'(t) \, dt \right| $$ $\square$

$$S(\Omega) = \dfrac{1}{2} \int_{a}^{b} r^{2}(\varphi) \, d\varphi $$

Рассмотрим $\tau = \{\alpha = \varphi_{0} < \varphi_{1} < \dots < \varphi_{n} = \beta\}$ Пусть ${} m_{k} = \inf\limits_{\varphi \in [\varphi_{k}, \varphi_{k+1}]} r(\varphi) {}$ и $M_{k} = \sup\limits_{\varphi \in [\varphi_{k}, \varphi_{k+1}]} r(\varphi)$ Так как площадь сектора равна $\dfrac{\pi R^{2}\alpha}{2\pi} = \dfrac{R^{2}\alpha}{2}$, получаем: $$\dfrac{m^{2}_{k}\Delta\varphi_{k}}{2} \leq \mu(\Omega_{k}) \leq \dfrac{M^{2}_{k}\Delta\varphi_{k}}{2}$$ Переходя к сумме получаем: $$\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{m^{2}_{k}\Delta\varphi_{k}}{2} \leq \sum_{k=0}^{n-1} \mu(\Omega_{k}) \leq \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{M^{2}_{k}\Delta\varphi_{k}}{2}$$ Значит: $$\underline{S}\left( \dfrac{r^{2}}{2} \right) \leq \mu(\Omega) \leq \overline{S}\left( \dfrac{r^{2}}{2} \right)$$ Тогда: $$S(\Omega) = \dfrac{1}{2} \int_{a}^{b} r^{2}(\varphi) \, d\varphi $$ $\square$